Question

8．已知函数f（x）=1-ax+lnx，
（1）若函数在x=2处的切线斜率为-$\frac{1}{2}$，求实数a的值；
（2）若存在x∈（0，+∞）使f（x）≥0成立，求实数a的范围；
（3）证明对于任意n∈N，n≥2有：$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+\frac{ln4}{4^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{n^2}{{2（{n+1}）}}-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由已知：f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，由题知f′（2）=$\frac{1}{2}$-a=-$\frac{1}{2}$，由此利用导数性质能求出a；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，利用存在x∈（0，+∞）使f（x）≥0成立，求实数a的范围；
（3）要证明$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+\frac{ln4}{4^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{n^2}{{2（{n+1}）}}-\frac{1}{4}$（n∈N^*．n≥2），只须证$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{2（n+1）}$．由此利用导数性质和裂项求和法进行证明即可．

解答 （1）解：求导数：f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∴f′（2）=$\frac{1}{2}$-a=-$\frac{1}{2}$，解得a=1．
（2）解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-a
当a≤0，f′（x）＞0，x∈（0，+∞），f （x）单调递增，f（x）≥0成立；
当a＞0时，x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
即f （x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$，
∴ln$\frac{1}{a}$≥0，
∴0＜a≤1，
综上a≤1；
（3）证明：要证明$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+\frac{ln4}{4^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{n^2}{{2（{n+1}）}}-\frac{1}{4}$（n∈N^*．n≥2），
只须证$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜$\frac{2{n}^{2}-n-1}{2（n+1）}$．
由（1）当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
f （x）=lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，
∴当n≥2时，lnn²＜n²-1，
∴$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}}$＜1-$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}$+…$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2+1}$）+（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3+1}$）+…+（1-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）
=n-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{n+1}$=$\frac{2{n}^{2}-n-1}{2（n+1）}$，
∴$\frac{ln2}{2^2}+\frac{ln3}{3^2}+\frac{ln4}{4^2}+…+\frac{lnn}{n^2}＜\frac{n^2}{{2（{n+1}）}}-\frac{1}{4}$（n∈N^*，n≥2）．

点评 本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．