Question

16．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB．
（1）点P为棱CC₁上一动点，求证：AP⊥B₁D₁；
（2）求AD₁与平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）分别以DA，DC，DD₁三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出空间点的坐标，设P（0，1，m），进行数量积的坐标运算求$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=0$即可；
（2）设平面A₁CD的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，设AD₁与平面A₁CD所θ，由sinθ=$|cos＜\overrightarrow{A{D}_{1}}，\overrightarrow{n}＞|$即可求得答案．

解答 解：以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz；
设AB=1，则：D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2）；
（1）设P（0，1，m），则$\overrightarrow{AP}=（-1，1，m）$，$\overrightarrow{{D_1}{B_1}}=（1，1，0）$；
则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{D_1}{B_1}}=0$；
∴AP⊥B₁D₁；
（2）$\overrightarrow{{A_1}C}=（-1，1，-2），\overrightarrow{D{A_1}}=（1，0，2）$；
设平面A₁CD的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$；
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}C}=-x+y-2z=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{D{A_1}}=x+2z=0}\end{array}}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x=-2z}\end{array}\right.$，令z=1，则$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}}\right.$，∴$\overrightarrow n=（-2，0，1）$，$\overrightarrow{|n}|=\sqrt{5}$；
设AD₁与平面A₁CD所成的大小为θ，$\overrightarrow{A{D_1}}=（-1，0，2）$，$\overrightarrow{|A{D_1}}|=\sqrt{5}$；
∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow{A{D_1}}，\overrightarrow n＞|=\frac{4}{{\sqrt{5}×\sqrt{5}}}=\frac{4}{5}$；
所以AD₁与平面A₁CD所成角的正弦值为$\frac{4}{5}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量证明异面直线垂直及解决线面角问题的方法，能求空间点的坐标，向量垂直的充要条件，以及平面法向量的概念及其求法，线面角的概念，向量夹角余弦的坐标公式．