Question

6．如2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，5³=21+23+25+27+29，…观察以上等式，若类似上面各式方法将m³分拆得到的等式右边最后一个数109，则正整数m等于10．

Answer 1

分析 可得规律：第n行的左边是m³，右边是m个连续奇数的和，设第n行的最后一个数为a_n，累加可得a_n．

解答 解：由题意可得第n行的左边是m³，右边是m个连续奇数的和，
设第n行的最后一个数为a_n，
则有a₂-a₁=11-5=6=2×（1+2）=1×2+4，
a₃-a₂=19-11=8=2×（2+2）=2×2+4，
a₄-a₃=29-19=10=2×（3+2）=3×2+4，
…
a_n-a_n-1=2（n-1+2）=（n-1）×2+4，
以上（n-1）个式子相加可得a_n-a₁=n²+3n-4
故a_n=n²+3n+1，
即n²+3n+1=109
解得n=9．
∴m=n+1=9+1=10
故答案为：10．

点评 本题考查类比推理，涉及累加法求数列的通项公式，属基础题．