Question

11．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=CC₁=AB，AB⊥BC，点M，N，G分别是CC₁，B₁C，AB的中点．
（1）求证：B₁C⊥平面ABN；
（2）求证：CG∥平面AB₁M．

Answer 1

分析 （1）根据线线平行、线面垂直的判定定理证明即可；（2）由线线平行推出线面平行即可．

解答 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁，点N是B₁C的中点，
∴BN⊥B₁C，
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面B₁BCC₁，
∵B₁C?平面B₁BCC₁，
∴B₁C⊥AB，即B₁C⊥GB，
又BN∩BG=B，
∴B₁C⊥平面BNG；
（II）取AB₁的中点H，连接HG，HM，GC，则HG为△AB₁B的中位线，
∴GH∥BB₁，GH=$\frac{1}{2}$BB₁，
由已知条件知B₁BCC₁为正方形，
∴CC₁∥BB₁，CC₁=BB₁，
∵M为CC₁的中点，∴CM=$\frac{1}{2}$CC₁，
∴MC∥GH，且MC=GH，
∴四边形HGCM为平行四边形∴GC∥HM，
又∵GC?平面AB₁M，HM?平面AB₁M，
∴CG∥平面AB₁M．

点评 本题考查了线面垂直，线面平行的判定定理，考查数形结合思想，是一道中档题．