Question

19．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ．
（Ⅰ）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入y²=8x化为3t²-16t-64=0．利用弦长|AB|=|t₁-t₂|即可得出．

解答 解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=8cosθ，即ρ²sin²θ=8ρcosθ，化为y²=8x．
（II）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入y²=8x化为3t²-16t-64=0．
解得t₁=8，t₂=$-\frac{8}{3}$．
∴弦长|AB|=|t₁-t₂|=$8+\frac{8}{3}$=$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．