Question

7．已知函数f（x）=x²-（-1）^k2lnx（k∈N^*）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当k为奇数时，x＞0，n∈N^*时，求证：[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论k的奇偶性，从而得到函数的单调区间；（Ⅱ）先求出函数的导数，利用倒叙相加从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知得x＞0且${f^/}（x）=2x-{（-1）^k}•\frac{2}{x}$，
当k为奇数时，则f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数，
当k为偶数时，则${f^/}（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
所以当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
故当k为偶数时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）由已知得，${f^/}（x）=2x+\frac{2}{x}$（x＞0），
所以左边=${（2x+\frac{2}{x}）^n}-{2^{n-1}}•（2{x^n}+\frac{2}{x^n}）$
=${2^n}（C_n^1{x^{n-2}}+C_n^2{x^{n-4}}+…+C_n^{n-2}\frac{1}{{{x^{n-4}}}}+C_n^{n-1}\frac{1}{{{x^{n-2}}}}）$，
令S=$C_n^1{x^{n-2}}+C_n^2{x^{n-4}}+…+C_n^{n-2}\frac{1}{{{x^{n-4}}}}+C_n^{n-1}\frac{1}{{{x^{n-2}}}}$，
倒序相加得$2S=C_n^1（{x^{n-2}}+\frac{1}{{{x^{n-2}}}}）+C_n^2（{x^{n-4}}+\frac{1}{{{x^{n-4}}}}）+…+C_n^{n-2}（\frac{1}{{{x^{n-4}}}}+{x^{n-4}}）+C_n^{n-1}（\frac{1}{{{x^{n-2}}}}+{x^{n-2}}）$
≥2$（C_n^1+C_n^2+…+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}）$
=2（2ⁿ-2），可得S≥（2ⁿ-2），
所以：[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2），成立．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查不等式的证明，是一道中档题．