Question

15．已知a＞0．b＞0，且a+b=1．
（1）求证：2a²+3b²≥$\frac{6}{5}$；
（2）求证：（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}{b}$）≥$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用柯西不等式，即可证明结论；
（2）考虑用基本不等式求得0＜ab≤$\frac{1}{4}$，直接展开左侧，利用基本上的性质，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵（2a²+3b²）（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$）≥（a+b）²，a+b=1，
∴2a²+3b²≥$\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$=$\frac{6}{5}$；
（2）∵a+b=1，a＞0，b＞0，
∴根据基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴0＜ab≤$\frac{1}{4}$，
又（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}{b}$）=$\frac{{a}^{2}+1}{a}•\frac{{b}^{2}+1}{b}$=ab+$\frac{2}{ab}$-2≥$\frac{1}{4}$+8-2=$\frac{25}{4}$（取等号时a=b=$\frac{1}{2}$）
∴：（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}{b}$）≥$\frac{25}{4}$

点评 此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到基本不等式的应用和柯西不等式证明不等式，涵盖知识点少，有一定的计算量，属于中档题目．