Question

5．等差数列{a_n}中，a₅=3，a₁₇=2a₈
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_n}}}（n∈{N^*}）$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用a₁₇=2a₈即3+12d=2（3+3d）可知公差d=$\frac{1}{2}$，进而计算即得结论；
（2）通过裂项可知b_n=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₅=3，
∴a₈=a₅+3d=3+3d，a₁₇=a₅+12d=3+12d，
又∵a₁₇=2a₈，即3+12d=2（3+3d），
∴d=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=a₅+（n-5）d=3+$\frac{n-5}{2}$=$\frac{n+1}{2}$；
（2）∵a_n=$\frac{n+1}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{\frac{n+1}{2}•\frac{n+2}{2}}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴S_n=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{2n}{n+2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．