Question

3．已知a₁=1，a_n+1＞a_n，且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=0，计算a₂，a₃，然后猜想a_n．

Answer 1

分析 由题设条件知（a₂-1）²-2（a₂+1）+1=0，所以a₂=4．由（a₃-4）²-2（a₃+4）+1=0，知a₃=9由此猜想a_n=n²．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1＞a_n，且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=0，
∴（a₂-1）²-2（a₂+1）+1=0，
整理得a₂²-4a₂=0，
∴a₂=4或a₂=0（舍）．
（a₃-4）²-2（a₃+4）+1=0，
整理，得a₃²-10a₃+9=0，
∴a₃=9或a₃=1（舍）．
由此猜想a_n=n²．
故答案为：n²．

点评 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意递推公式的应用，寻代各项和规律，合理地进行猜想．