Question

10．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|（a＞0）
（1）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＞2a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，不等式即|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{3}{2}$|≤3，再根据绝对值的意义，求得不等式的解集．
（2）利用绝对值三角不等式求得|2x-1|+|2x+a|的最小值为a+1，可得a+1＞2a，由此求得a的范围．

解答 解：（1）当a=3时，不等式f（x）≤6，即|2x-1|+|2x+3|≤6，即|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{3}{2}$|≤3．
|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{3}{2}$|表示数轴上的x对应点到-$\frac{3}{2}$、$\frac{1}{2}$对应点的距离之和，而-2和1对应点到-$\frac{3}{2}$、$\frac{1}{2}$对应点的距离之和正好等于3，
故不等式的解集为[-2，1]．
（2）因为不等式|2x-1|+|2x+a|＞2a恒成立，a＞0，而|2x-1|+|2x+a|≥|（2x-1）-（2x+a）|=|a+1|=a+1，
故a+1＞2a，求得0＜a＜1．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．