Question

14．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}+b}}$（a，b∈R）．
（1）若f（x）在x=1处取得极值为2，求函数f（x）的解析式；
（2）若a≠0，且b=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（3）在（2）的条件下，求函数f（x）在区间[-3，6]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，得到方程组，求出a，b的值，从而求出函数的解析式；
（2）对a讨论，a＞0，a＜0，先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（3）先求出函数f（x）在[-3，6]上的单调性，从而求出函数的最小值．

解答 解：（1）f（x）的导数$f'（x）=\frac{{-a{x^2}+ab}}{{{{（{x^2}+b）}^2}}}$，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{f^'}（1）=0\\ f（1）=2\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{ab-a=0}\\{\frac{a}{1+b}=2}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=1，
所以$f（x）=\frac{4x}{{{x^2}+1}}$；
（2）（ⅰ）当a＞0，b=1时，$f'（x）=\frac{{-a{x^2}+a}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{-a（x+1）（x-1）}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$，
于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	$-\frac{a}{2}$	单调递增	$\frac{a}{2}$	单调递减

所以f（x）单调增区间（-1，1）减区间（-∞，-1），（1，+∞），极小值$-\frac{a}{2}$，极大值$\frac{a}{2}$；
（ⅱ） 当a＜0，b=1时，同理得f（x）单调增区间（-∞，-1），（1，+∞），
减区间（-1，1），极小值$\frac{a}{2}$，极大值$-\frac{a}{2}$；
（3）由（2）得，当a＞0时，f（x）在[-3，-1）单调减，在[-1，1]单调增，在（1，6]单调减
所以$f（-1）=\frac{-a}{2}$，$f（6）=\frac{6a}{37}$，
因为$\frac{-a}{2}＜\frac{6a}{37}$，所以最小值为$\frac{-a}{2}$；
当a＜0时，f（x）在[-3，-1）单调增，在[-1，1]单调减，在（1，6]单调增．
所以$f（-3）=\frac{-3a}{10}$，$f（1）=\frac{a}{2}$，
因为$\frac{a}{2}＜\frac{-3a}{10}$，所以最小值为$\frac{a}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．