Question

3．今年来，网上购物已经成为人们消费的一种趋势，假设某网上商城的某种商品每月的销售量y（单位：千件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式：y=$\frac{m}{x-1}$+4（x-6）²，其中1＜x＜6，m为常数．已知销售价格为4元/件时，每月可售出20千件．
（1）求m的值；
（2）假设每件商品的进价为1元，试确定销售价格x的值，使该商城每月销售该商品所获得的利润最大．（结果保留一位小数）．

Answer 1

分析 （1）把x=4，y=20代入关系式y=$\frac{m}{x-1}$+4（x-6）²，解方程即可解出m；
（2）利用可得每月销售饰品所获得的利润f（x）=（x-1）[$\frac{12}{x-1}$+4（x-6）²]，利用导数研究其定义域上的单调性与极值最值即可得出．

解答 解：（1）∵x=4时，y=20，
代入关系式y=$\frac{m}{x-1}$+4（x-6）²，得$\frac{m}{3}$+4×2²=20，
解得m=12．
（2）由（1）可知，饰品每月的销售量y=$\frac{12}{x-1}$+4（x-6）²，
∴每月销售饰品所获得的利润
f（x）=（x-1）[$\frac{12}{x-1}$+4（x-6）²]=4（x³-13x²+48x）-132，（1＜x＜6），
从而 f′（x）=4（3x²-26x+48）=4（3x-8）（x-6），（1＜x＜6），
令f′（x）=0，得x=$\frac{8}{3}$，且在1＜x＜$\frac{8}{3}$上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在$\frac{8}{3}$＜x＜6上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴x=$\frac{8}{3}$是函数f（x）在（1，6）内的极大值点，也是最大值点，
∴当x=$\frac{8}{3}$≈2.7时，函数f（x）取得最大值．
即销售价格为2.7元/件时，该店每月销售饰品所获得的利润最大．

点评 本题主要考查函数的应用问题，求函数的解析式，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．