Question

12．已知$\overrightarrow m=（2cosx+2\sqrt{3}sinx，1），\overrightarrow n=（cosx，-y）$，且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$；
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若$f（\frac{A}{2}）=3$，且，a=2，b=c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，再利用倍角公式、和差公式、三角函数的单调性即可得出．
（2）利用三角函数的单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$（2cosx+2\sqrt{3}sinx）cosx$-y=0，
化为f（x）=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$+1
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$+1，
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
∴f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$（k∈Z）．
（2）∵$f（\frac{A}{2}）=3$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）$=1，A∈（0，π）．
∴$A=\frac{π}{3}$，
∵a=2，b=c，
∴a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=2b²-b²，解得b=2=c．
∴△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相互垂直与数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．