Question

15．若（1+x）ⁿ的展开式中x²项的系数为a_n，则$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$的值（　　）

• A． 一定大于2
• B． 一定小于2
• C． 等于2
• D． 一定大于$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由题意首先利用二项展开式求出a_n，然后求数列的和．

解答 解：因为（1+x）ⁿ的展开式中x²项的系数为a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，
所以$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=2[$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）n}$]=2（1-$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2（1-$\frac{1}{n}$）；
所以$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$的值一定小于2；
故选B

点评 本题考查了二项展开式的项的系数以及拆项法求数列的和；关键是正确求出a_n，然后根据通项特点求和．