Question

10．已知函数f₁（x）=-x²+ax+b有一个零点x=-1，函数f₂（x）=x²+cx+d有一个零点x=2，若函数f（x）=f₁（x）•f₂（x）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）的最大值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 利用穿根法，图象的对称性求出函数f（x）的另外两个零点，进而确定a，b，c，d的值，再求函数f（x）的最大值．

解答 解：依题意，函数f（x）=f₁（x）•f₂（x）的另外两个零点为x=0和x=3，
函数f₁（x）=-x²+ax+b的零点x=-1和x=0，
∴a=-1，b=0．
函数f₂（x）=x²+cx+d的零点x=2和x=3，
∴c=-5，d=6．
∴函数f（x）=f₁（x）•f₂（x）=）=（-x²-x）（x²-5x+6），
∴f'（x）=-2（x-1）（2x²-4x-3），
令f'（x）=0解得x=1或x=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，或x=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
又∵函数f（x）=f₁（x）•f₂（x）的图象关于直线x=1对称，
∴函数f（x）的最大值为f（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$）=$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查函数零点的判定，利用对称性确定最值的思想方法．