Question

8．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S₁，S₂，S₃，S₄，则四面体的体积V=$\frac{1}{3}$R（S₁+S₂+S₃+S₄）．

Answer 1

分析 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答 解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
故答案为：$\frac{1}{3}$R（S₁+S₂+S₃+S₄）．

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．