Question

15．已知函数f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，g（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$-…-$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，设函数F（x）=f（x+4）•g（x-3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a，b∈Z，a＜b）内，则b-a的最小值为10．

Answer 1

分析 由导数可判断f（x）在R上是增函数，且f（-1）＜0，f（0）=1；g（x）在R上是减函数，且g（1）＞0，g（2）＜0；从而求得．

解答 解：∵f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，
∴f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴，
f′（0）=1，f′（1）=1，
当x≠0且x≠1时，
f′（x）=$\frac{1-（-x）^{2015}}{1+x}$=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，
∴f（x）在R上是增函数，且f（-1）＜0，f（0）=1；
同理可知g（x）在R上是减函数，且g（1）＞0，g（2）＜0；
∴对于函数F（x）=f（x+4）•g（x-3），
当x≤-5时，f（x+4）＜0，g（x-3）＞0，
故F（x）＜0恒成立；
当x≥5时，f（x+4）＞0，g（x-3）＜0，
故F（x）＜0恒成立；
故b-a的最小值为5-（-5）=10；
故答案为：10．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质应用，属于中档题．