Question

16．若正实数a使得不等式|2x-1|+|3x-2|≥a²对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是0＜a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 首先分析题目已知不等式|3x-2|+|2x-1|≥a²恒成立，求a的取值范围，故可以考虑设y=|2x-1|+|3x-2|，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数y=|2x-1|+|3x-2|的最小值，从而求出答案．

解答 解：设y=|2x-1|+|3x-2|，
当$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{2}{3}$时，y=2x-1-（3x-2）=-x+1≥$\frac{1}{3}$
当x＞$\frac{2}{3}$时，y=2x-1+3x-2=5x-3＞$\frac{1}{3}$
当x＜$\frac{1}{2}$时，y=-（2x-1）-（3x-2）=-5x+3＞$\frac{1}{2}$，
故y=|2x-1|+|3x-2|有最小值$\frac{1}{3}$．
不等式|2x-1|+|3x-2|≥a²恒成立，
即a²必小于等于y=|2x-1|+|3x-2|的最小值$\frac{1}{3}$，
由a²≤$\frac{1}{3}$，解得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤a≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵a是正实数，
故答案为：$0＜a≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

点评 此题主要考查绝对值不等式的解法问题，其中涉及到分类讨论去绝对值的思想，题目计算量小，涵盖知识点少，属于基础性题目．