Question

1．从装有编号为1，2，3，…，n+1的n+1个球的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C_n+1^m种取法．在这C_n+1^m种取法中，不取1号球有C₁⁰C_n^m种取法；必取1号球有C₁¹C_n^m-1种取法．所以C₁⁰C_n^m+C₁¹C_n^m-1=C_n+1^m，即C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m成立．试根据上述思想，则有当1≤k≤m≤n，k，m，n∈N时，C_n^m+C_k¹C_n^m-1+C_k²C_n^m-2+…+C_k^kC_n^m-k=$C_{n+k}^m$．

Answer 1

分析 从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C_n+1^m种取法．在这C_n+1^m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m-1个白球，则C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m根据上述思想，在式子：C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故根据排列组合公式，可得答案．

解答 解：在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，
从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，
故从装有n+k球中取出m个球的不同取法数$C_{n+k}^m$．
故答案为：$C_{n+k}^m$．

点评 这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．