Question

13．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），若f（x）在区间$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上具有单调性，且$f（{\frac{π}{2}}）=f（{\frac{2π}{3}}）=-f（{\frac{π}{6}}）$，则f（x）的最小正周期为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 由题意可得则$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，且函数的图象关于直线x=$\frac{7π}{12}$ 对称，且一个对称点为（$\frac{π}{3}$，0），由此求得ω的值，可得函数的最小正周期．

解答 解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）在区间$[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上具有单调性，且$f（{\frac{π}{2}}）=f（{\frac{2π}{3}}）=-f（{\frac{π}{6}}）$，
则$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$，且函数的图象关于直线x=$\frac{\frac{π}{2}+\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{7π}{12}$ 对称，且一个对称点为（$\frac{π}{3}$，0）．
可得0＜ω≤3且 $\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$，求得ω=2，
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
故选：C．

点评 本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．