Question

13．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB=2，AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，AA₁=2，点D，E分别为棱BC，A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点F，连接DF，FA₁，推导出四边形A₁FDE为平行四边形，从而A₁F∥DE，由此能证明DE∥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AB₁-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）取AB中点F，连接DF，FA₁，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵A₁E=EC₁，A₁C₁∥AC，∴A₁E∥AC，A₁E=$\frac{1}{2}AC$，
BD=DC，BF=FA，∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}AC$，
∴DF∥A₁E，DF=A₁E，
∴四边形A₁FDE为平行四边形，
∴A₁F∥DE，A₁F?面B₁BAA₁，DE?面B₁BAA₁，
∴DE∥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）∵AB²+AC²=8=BC²，∴AB⊥AC，
又AA₁⊥底面ABC，
以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA₁所在直线为z轴，如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），
D（1，1，0），E（0，1，2），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，2），
由AA₁⊥底面ABC，AC?面ABC，得AA_1⊥AC，
又AB⊥AC，且AB∩AA₁=A，
∴AC⊥面B₁BAA₁，∴$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0）是平面B₁BAA₁的法向量，
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{AD}$=（1，1，0），
设面AB₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-2}{2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由图得，二面角B-AB₁-D为锐二面角，
∴二面角B-AB₁-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．