Question

10．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直线PC与底面ABCD所成的角45°，E，F，M分别是BC，PC，PA的中点．
（1）PC∥平面MBD；
（2）证明：AE⊥PD；
（3）求二面角E-AF-C的余弦值；
（4）若PA=2，求棱锥C-PAD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，连结OM，利用中位线定理得出OM∥PC，故而PC∥平面MBD；
（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥AE，由菱形的性质得出AE⊥BC，故而AE⊥AD，于是AE⊥平面PAD，故而AE⊥PD；
（3）建立空间坐标系，使用向量法解出；
（4）以△ACD为底面，PA为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．

解答 （1）证明：连结BD交AC与O，连结MO
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC的中点，又M是PA的中点，
∴MO∥PC，∵MO?平面MBD，PC?平面MBD，
∴PC∥平面MBD．

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，BC∥AD，
∵E是BC中点，∴AE⊥BC，
∴AE⊥AD，又PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴AE⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，
∴AE⊥PD．
（3）解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角，
∴∠PCA=45°．∴PA=AC，
设AB=a，则A（0，0，0），E（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0，0），C（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），P（0，0，a），∴F（$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，$\frac{a}{4}$，$\frac{a}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，$\frac{a}{4}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AE}=0$，$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AF}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}ax=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}ax+\frac{1}{4}ay+\frac{1}{2}az=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，-2，1）．
设平面ACF的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AF}=0$，$\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AC}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}ax}{4}+\frac{ay}{4}+\frac{az}{2}=0}\\{\frac{\sqrt{3}ax}{2}+\frac{ay}{2}=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{{n}_{1}}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{{n}_{2}}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴二面角E-AF-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
（4）解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角，
∴∠PCA=45°，∴AC=PA=2，
∴S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{C}^{2}$=$\sqrt{3}$．
∴V_C-PAD=V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PA$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行与垂直的性质与判定，空间角的计算和棱锥的体积计算，属于中档题．