Question

1．四面体的一条棱长为x，其它各棱长均为1，若把四面体的体积V表示成关于x的函数V（x），则函数V（x）的单调递减区间是（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由题意画出三棱锥的图形，取BC，AD的中点分别为E，F，求出AED的面积，然后求出棱锥的体积，再由导数确定函数的单调减区间．

解答 解：如图，四面体ABCD中，AD=x，其余各棱为1．取AD中点F，BC中点E
在三角形ABC中，∵三角形ABC为正三角形，E点是BC的中点，
∴AE⊥BC，同理ED⊥BC，
∵AE∩ED=E，∴BC⊥面AED．
S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EF，
EF=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{3-{x}^{2}}$，
∴V（x）=$\frac{1}{3}$•S_△AED•BC=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}x•\frac{1}{2}\sqrt{3-{x}^{2}}=\frac{1}{12}x\sqrt{3-{x}^{2}}$，
由3-x²＞0，得0$＜x＜\sqrt{3}$，
∴函数V（x）的定义域为（0，$\sqrt{3}$），
V′（x）=$\frac{1}{12}\sqrt{3-{x}^{2}}+\frac{1}{12}x•\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{3-{x}^{2}}}（-2x）$
=$\frac{1}{12}\sqrt{3-{x}^{2}}-\frac{1}{12}\frac{{x}^{2}}{\sqrt{3-{x}^{2}}}$=$\frac{1}{12}•\frac{3-2{x}^{2}}{\sqrt{3-{x}^{2}}}$，
由3-2x²＜0，得x$＜-\frac{\sqrt{6}}{2}$（舍），或x$＞\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴函数V（x）的单调递减区间是（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{3}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{3}$）．

点评 本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，关键是把棱锥转化为两个棱锥，考查利用导数一句话是的单调性，是中档题．