Question

13．已知非零向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$满足$\left|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}\right|=\left|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\left|{\overrightarrow a}\right|$，则$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 对$\left|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}\right|=\left|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\left|{\overrightarrow a}\right|$平方得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{4}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．从而得到${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．计算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．代入向量的夹角公式计算夹角的余弦．

解答 解：∵$\left|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}\right|=\left|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\left|{\overrightarrow a}\right|$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{4}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\frac{2}{3}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{\frac{4}{3}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{1}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，夹角计算，属于中档题．