Question

8．设f（x）=（ax+b）e^-2x，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为x+y-1=0．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+xlnx，证明：当0＜x＜1时，2e^-2-e^-1＜g（x）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，由切线的方程可得f（0）=1，f′（0）=-1，解方程可得a=b=1；
（Ⅱ）g（x）=f（x）+xlnx=（x+1）e^-2x，由h（x）=xlnx，求得导数，求出单调区间，可得最小值；再由f（x）的单调性可得f（x）的范围，结合x趋向于0，可得g（x）＜1，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（ax+b）e^-2x的导数为f′（x）=（a-2b-2ax）e^-2x，
由在（0，f（0））处的切线方程为x+y-1=0，
可得f（0）=1，f′（0）=-1，即为b=1，a-2b=-1，
解得a=b=1；
（Ⅱ）证明：g（x）=f（x）+xlnx=（x+1）e^-2x，
由h（x）=xlnx的导数为y′=1+lnx，
当x＞$\frac{1}{e}$时，h′（x）＞0，函数h（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，h′（x）＜0，函数h（x）递减．
即有x=$\frac{1}{e}$处取得最小值，且为-e^-1；
f（x）的导数为（-1-2x）e^-2x，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
可得f（x）＞f（1）=2e^-2；
则g（x）＞2e^-2-e^-1；
由x→0时，g（x）→1，
则有g（x）＜1，
综上可得，当0＜x＜1时，2e^-2-e^-1＜g（x）＜1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用函数的最值的性质和极限的思想，属于中档题．