Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），当-1＜x≤1 时，f（x）=x³ 则函数y=f（x）+log

1

5

|x|的零点的个数（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，由函数零点的判断方法，函数g（x）=f（x）+log

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5

|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log₅|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=log₅|x|的图象，分析其交点个数，即可得答案．

解答： 解：根据题意，函数y=f（x）+log

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5

|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=-log

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|x|=log₅|x|的交点的个数；
f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，
又由当-1＜x≤1时，f（x）=x³，据此可以做出f（x）的图象，
y=log₅|x|是偶函数，当x＞0时，y=log₅x，则当x＜0时，y=log₅（-x），做出y=log₅|x|的图象，
结合图象分析可得：函数y=f（x）与y=log₅|x|有6个交点，
则g（x）=f（x）-log₅|x|有6个零点，
故选：D

点评：本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．