Question

已知△ABC的三边a＞b＞c，且a+c=2b，A-C=

π

2

，求a：b：c．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：首先对角进行变换，根据正弦定理建立等量关系是，设计相关的有等比性质，解方程4sin²2A-sin2A-3=0和方程组

2sinAcosA=- 3 4 sin2A+cos2A=1

知识

解答： 解：在△ABC中，A-C=

π

2

，
C=A-

π

2

  B=

3

2

π-2A
利用正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

a

sinA

=

b

sin( 3 2 π-2A)

=

c

sin(A- π 2 )

a

sinA

=

b

-cos2A

=

c

-cosA

a+c

sinA-cosA

=

b

-cos2A

∵a+c=2b
∴

2

sinA-cosA

=

1

-cos2A

4

1-sin2A

=

1

1-sin22A

4sin²2A-sin2A-3=0
解得：sin2A=-

3

4

或1（舍）
sin2A=-

3

4

2sinAcosA=- 3 4 sin2A+cos2A=1

解方程组得：sinA=

1+ 7

4

，cosA=

1- 7

4

进一步求得：sinB=

7

4

   sinC=

7 -1

4

所以：a：b：c=sinA：sinB：sinC=（1+

7

）：

7

：（

7

-1）
故答案为：a：b：c=（1+

7

）：

7

：（

7

-1）

点评：本题考查的知识点：正弦定理，等比性质，角的变换问题，解一元二次方程，解方程组等运算问题．