Question

5．函数f（x）=sin（$\frac{π}{6}$-x）sinx的最大值是$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 展开两角差的正弦，利用单项式乘多项式展开，降幂后利用辅助角公式化积，则函数的最大值可求．

解答 解：f（x）=sin（$\frac{π}{6}$-x）sinx=（sin$\frac{π}{6}cosx-cos\frac{π}{6}sinx$）sinx
=（$\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$）sinx=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}si{n}^{2}x$
=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{4}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{4}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴当sin（2x+$\frac{π}{3}$）=1时，f（x）有最大值为$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的最值的求法，是基础题．