Question

11．下列函数中，最小值为2的是（　　）

• A． f（x）=x+$\frac{1}{x}$
• B． f（x）=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
• C． y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
• D． y=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$

Answer 1

分析 A．x＜0，f（x）＜0，最小值不可能为2，即可判断出正误．
B．由x∈（0，$\frac{π}{2}$），可得sinx∈（0，1），令sinx=t∈（0，1），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，利用导数研究其单调性即可判断出正误．
C．y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，令$\sqrt{{x}^{2}+2}$=t∈[$\sqrt{2}$，+∞），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，利用导数研究其单调性即可判断出正误．
D．x＞1，令$\sqrt{x-1}$=t∈（0，+∞），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，利用导数研究其单调性即可判断出正误．

解答 解：A．x＜0，f（x）＜0，最小值不可能为2，因此不正确．
B．∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx∈（0，1），令sinx=t∈（0，1），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，∴函数g（t）单调递减，∴g（t）＞g（1）=2，因此不正确．
C．y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，令$\sqrt{{x}^{2}+2}$=t∈[$\sqrt{2}$，+∞），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，∴函数g（t）单调递增，∴g（t）＞g（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞2，因此不正确．
D．x＞1，令$\sqrt{x-1}$=t∈（0，+∞），g（t）=t+$\frac{1}{t}$，y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{（t+1）（t-1）}{{t}^{2}}$，∴t=1时，函数g（t）取得最小值，∴g（t）＞g（1）=2，因此正确．
故选：D．

点评 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．