Question

1．已知函数f（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$）+sinx．
（I）利用“五点法”，列表并画出f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]上的图象；
（II）a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边．若a=$\sqrt{3}$，f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，求△ABC的面积．

x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$
f（x）	0	1	0	-1	0

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$），利用“五点法”，即可列表并画出函数的图象．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围0＜A＜π，可求A，由正弦定理可求sinB=$\frac{1}{2}$，结合范围0$＜B＜\frac{2π}{3}$，可求B，进而可求C，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$）+sinx
=cosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsin$\frac{π}{6}$+sinx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx
=sin（x+$\frac{π}{3}$），…（2分）
利用“五点法”列表如下，

x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$
y	0	1	0	-1	0

…（4分）
画出f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]上的图象，如图所示：
…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（A）=sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在△ABC中，0＜A＜π，可知A=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理可知$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=\frac{1}{sinB}$，
所以sinB=$\frac{1}{2}$，…（9分）
又0$＜B＜\frac{2π}{3}$，
∴B=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
因此△ABC面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．　　　　　　　…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，五点作图法，考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．