Question

11．在如图所示的三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，D，E分别是BC，A₁B₁的中点．
（1）求证：DE∥平面ACC₁A₁；
（2）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB₁=60°，求直线BC与平面AB₁C所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据题目特点，可由证面面平行，得到线面平行．
（2）方法一：找出线面所成角，再构造三角形求线面角的正切值；方法二：建立空间直角坐标系，根据向量所成角，求得线面角．

解答 解：（1）取AB的中点F，连接DF，EF…（1分）
在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，
所以DF∥AC（中位线），
又∵DF?平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
所以DF∥平面ACC₁A₁…（3分）
在矩形ABB₁A₁中，因为E，F分别为A₁B₁，AB的中点，
∴EF∥AA₁（中位线），
又∵EF?平面 ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，
∴EF∥平面ACC₁A₁…（4分）
∵DF∩EF=F，
∴平面DEF∥平面ACC₁A₁…（5分）
∵DE?平面DEF，
∴DE∥平面ACC₁A₁…（6分）
（2）解法一：
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴BC⊥BB₁，
又AB⊥BC，AB∩BB₁=B，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，…（7分）
∵AB=BC，BB₁=BB₁，
∴△ABB₁≌△CBB₁
∴AB₁=CB₁，又$∠AC{B_1}={60^0}$，
∴△AB₁C为正三角形，
∴$A{B_1}=\sqrt{A{B^2}+BB_1^2}=AC=\sqrt{2}AB$，∴BB₁=AB…（8分）
取AB₁的中点O，连接BO，CO，
∴AB₁⊥BO，AB₁⊥CO，
∴AB₁⊥平面BCO，
∴平面AB₁C⊥平面BCO，点B在平面AB₁C上的射影在CO上，
∴∠BCO即为直线BC与平面AB₁C所成角…（10分）
在Rt△BCO中，$BO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}BC$，
∴$tan∠BCO=\frac{BO}{BC}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）
解法二：由题知BB₁，BA，BC两两互相垂直，故建立空间直角坐标线如图，
并设AB=2，BB₁=t，
则A（0，2，0），C（0，0，2），B₁（t，0，0）（t＞0）
∴$\overrightarrow{CA}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}=（t，0，-2）$
∵$∠AC{B_1}={60^0}$，∴$＜\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{C{B}_{1}}＞$=60°
∴$cos60°=\frac{4}{2\sqrt{2}\sqrt{{t}^{2}+4}}$，得t=2．
∴B₁（2，0，0），$\overrightarrow{C{B}_{1}}=（2，0，-2）$，
设平面AB₁C的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$   得x=y=z，取$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）
记直线BC与平面AB₁C所成角为θ，且$\overrightarrow{BC}=（0，0，2）$
则$sinθ=\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}×2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$tanθ=\frac{\sqrt{2}}{2}$
故直线BC与平面AB₁C所成角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查线面、面面位置关系的判断与证明，直线与平面所成角的求法．属于中档题．