Question

6．已知函数f（x）满足$f（x）=4f（{\frac{1}{x}}）$，当$x∈[{\frac{1}{4}，1}]$时，f（x）=lnx，若在$[{\frac{1}{4}，4}]$上，方程f（x）=kx有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $[{-4ln4，-\frac{4}{e}}]$
• B． [-4ln4，-ln4]
• C． $[{-\frac{4}{e}，-ln4}]$
• D． $（{-\frac{4}{e}，-ln4}]$

Answer 1

分析 根据函数，求出x在$[{\frac{1}{4}，4}]$上的解析式，已知在区间$[{\frac{1}{4}，4}]$上内，函函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点⇒）y=f（x）与y=ax的图象有三个交点，结合图象，求出a的范围．

解答 解：x∈$[{\frac{1}{4}，4}]$时f（x）=lnx，当x∈[1，4]时，f（x）=-4lnx．
函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点⇒）y=f（x）与y=ax的图象有三个交点．
由图象可知y=kx过点（4．-4ln4）时有三个交点，此时k=-ln4，当y=kx与y=-4lnx （x＞1）相切时，设切点P（a，-4lna）．y′=$\frac{-4}{x}$，
∴过点P的切线方程为：y+4lna=$\frac{-4}{a}（x-a）$．过点P的切线过点O（0，0），代入y+4lna=$\frac{-4}{a}（x-a）$⇒a=e．
此时切线的斜率k=-$\frac{4}{e}$，∴要使函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，则$\frac{-4}{e}＜k≤-ln4$．
故选：D．

点评 本题考查了函数与方程的思想，是必须掌握的一种技巧，属于中档题．