Question

14．数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：当n≥2时，S_n+1=2ⁿ⁺²-2，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n+1}}-{2^n}={2^n}$，当n=1时，${a_1}={S_1}={2^{1+1}}-2=2={2^1}$，也满足上式，即可求得数列{a_n}的通项公式，由b₁，b₃，b₁₁成等比数列，则（2+2d）²=2×（2+10d），即可求得d=3，根据等差数列通项公式，即可求得数列{b_n}的通项公式；
（2）由（1）可得：c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”即可求得列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n≥2时，S_n+1=2ⁿ⁺²-2，
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n+1}}-{2^n}={2^n}$，
当n=1时，${a_1}={S_1}={2^{1+1}}-2=2={2^1}$，也满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$．
b₁=a₁=2，设公差为d，
由b₁，b₃，b₁₁成等比数列，
（2+2d）²=2×（2+10d），
解得：d=0（舍去）或d=3，
∴数列{b_n}是的通项公式b_n=3n-1．                             
（2）由（1）可得：c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
${T_n}=\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\frac{b_3}{a_3}+…+\frac{b_n}{a_n}$=$\frac{2}{2^1}+\frac{5}{2^2}+\frac{8}{2^3}+…+\frac{3n-1}{2^n}$，
∴$2{T_n}=2+\frac{5}{2^1}+\frac{8}{2^2}+…+\frac{3n-1}{{{2^{n-1}}}}$，
两式式相减得：${T_n}=2+\frac{3}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{3}{{{2^{n-1}}}}-\frac{3n-1}{2^n}$，
∴${T_n}=2+\frac{{\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{3n-1}{2^n}=5-\frac{3n+5}{2^n}$，
数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=5-$\frac{3n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列及等比数列的性质及前n项和公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．