Question

15．已知函数f（x）=alnx-x+$\frac{1}{x}$，g（x）=x²+x-b，y=f（x）的图象恒过定点P，且P点既在y=g（x）的图象上，又在y=f（x）的导函数的图象上．
（1）求a，b的值；
（2）设h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，当x＞0且x≠1时，判断h（x）的符号，并说明理由；
（3）求证：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞lnn+$\frac{n+1}{2n}$（n≥2且n∈N*）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的解析式知其图象过定点（1，0），由g（1）=0，可求得b，由f′（x）=0可求得a；
（2）要判断h（x）的符号，可分别判断f（x），g（x）的符号，g（x）=x²+x-2=（x-1）（x+2），在x＞1时，g（x）＞0，而对f（x）=2lnx-x+$\frac{1}{x}$，由于f（1）=0，因此由导数f′（x）判断其单调性后，再判断其正负；
（3）这里要有意识地想象此不等式的证明要利用上面的结论，考虑到当x＞1时，f（x）＜0，即2lnx＜x-$\frac{1}{x}$，令x=$\frac{n}{n-1}$（n≥2），所以2ln$\frac{n}{n-1}$＜$\frac{n}{n-1}$-$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$，让n从2开始写出n-1个不等式，相加可证，采用数学归纳法，即可证明不等式成立．

解答 解：（1）由f（x）=alnx-x+$\frac{1}{x}$，则f（x）恒过（1，0），则P（1，0），g（1）=0，
∴b=2，由f′（x）=$\frac{a}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，f′（1）=0，则a=2，即a=2，b=2；
∴a，b的值2，2；
（2）h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$＜0，即证x＞0且x≠1时，f（x），g（x）异号，
则g（x）=x²+x-2=（x-1）（x+2），
∴当x＞1时，g（x）＞0，则f′（x）=$\frac{2}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$＜0，
∴f（x）在（1，+∞）单调递减，
又f（1）=0，则f（x）＜f（1）=0，则h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$＜0，
∵当0＜x＜1时，g（x）＜0，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f（x）＞f（1）=0，
∴h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$＜0，综上得证．
（3）证明：由（2）知：当x＞1时，f（x）＜0，
即2lnx＜x-$\frac{1}{x}$，令x=$\frac{n}{n-1}$（n≥2），
∴2ln$\frac{n}{n-1}$＜$\frac{n}{n-1}$+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$，
∴2ln$\frac{2}{1}$＜$\frac{1}{2}$+1，
2ln$\frac{3}{2}$＜$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$，
…
2ln$\frac{n}{n-1}$＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$，
以上各式相加可得：2lnn＜2（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）-1-$\frac{1}{n}$，（n＞1），
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞lnn+$\frac{n+1}{2n}$，
另法：（3）数学归纳法证明如下：
①当n=1时，左边=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，右边=ln2+$\frac{3}{4}$，左边-右边=$\frac{3}{4}$-ln2=ln$\frac{{e}^{\frac{3}{4}}}{2}$＞0，
∴左边＞右边，
所以，当n=2时，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{k}$＞lnk+$\frac{k+1}{2k}$（k＞1）成立．
那么，当n=k+1时，左边=1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$＞lnk+$\frac{k+1}{2k}$+$\frac{1}{k+1}$，而右边=ln（k+1）+$\frac{k+1+1}{2（k+1）}$，
要证：1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$＞ln（k+1）+$\frac{k+1+1}{2（k+1）}$，
即证：lnk+$\frac{k+1}{2k}$+$\frac{1}{k+1}$＞ln（k+1）+$\frac{k+1+1}{2（k+1）}$，
即证：ln（k+1）-lnk＜（$\frac{k+1}{2k}$+$\frac{1}{k+1}$）-$\frac{k+1+1}{2（k+1）}$，即证ln$\frac{k+1}{k}$＜$\frac{k+1}{2k}$-$\frac{k}{2（k+1）}$，★
由（2）知：当x＞1时，h（x）＜0，且g（x）＞0，
∴f（x）＜0，即2lnx＜x-$\frac{1}{x}$，
∵$\frac{k+1}{k}$＞1，
∴2l$\frac{k+1}{k}$＜$\frac{k+1}{k}$-$\frac{k}{k+1}$，则★成立
∴当n=k+1时，不等式成立．
由①②知，不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞lnn+$\frac{n+1}{2n}$（n≥2且n∈N*）．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性，对数函数的运算性质，考查导数与不等式的综合应用，利用数学归纳法求证不等式成立．