Question

10．设函数f（x）=x²e^ax，a＞0．
（1）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若方程f（x）-1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求导，由x∈（0，+∞）则f′（x）＞0，则函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）求导，f′（x）=0，根据函数的单调性即可求得f（x）极大值，由f（x）=1有且只有两个不同的实数根，即$\frac{4}{{a}^{2}{e}^{2}}$=1，即可求得实数a的值．

解答 解：（1）证明：f（x）的定义域R，求导，f′（x）=2xe^ax+ax²e^ax=xe^ax（ax+2），
当x∈（0，+∞）时，a＞0，则e^ax＞0，则xe^ax（ax+2）＞0，
则f′（x）＞0，
∴函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）令f′（x）=0，记得x=-$\frac{2}{a}$或x=0，

x	（-∞，-$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（$\frac{2}{a}$，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

则当x=-$\frac{2}{a}$时，函数有极大值f（-$\frac{2}{a}$）=$\frac{4}{{a}^{2}{e}^{2}}$，
当x=0时，函数有极小值f（0）=0，
当x＜0时，f（x）＞0，x→-∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，
由f（x）-1=0，即f（x）=1有且只有两个不同的实数根，
即$\frac{4}{{a}^{2}{e}^{2}}$=1，解得：a=$\frac{2}{e}$，（负根舍去）
实数a的值$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数与函数单调性与极值关系，考查计算能力，属于中档题．