Question

1．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{6}t\end{array}$（t为参数），曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数）．
（1）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（2）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标压缩为原来的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）设l与C₁相交于A，B两点，利用普通方程，求出A，B的坐标，即可求|AB|；
（2）点P的坐标是$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，点P到直线l的距离是$\frac{{|{\frac{1}{2}cosθ-\frac{3}{2}sinθ-1}|}}{2}=\frac{{|{\frac{{\sqrt{10}}}{2}sin（θ-φ）+1}|}}{2}$，即可求它到直线l的距离的最大值．

解答 解：（1）l的普通方程$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-1）$，C₁的普通方程x²+y²=1，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-1）\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，
解得l与C₁的交点为A（1，0），$B（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，则$|{AB}|=\sqrt{3}$
（2）C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}cosθ\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），故点P的坐标是$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）$，
从而点P到直线l的距离是$\frac{{|{\frac{1}{2}cosθ-\frac{3}{2}sinθ-1}|}}{2}=\frac{{|{\frac{{\sqrt{10}}}{2}sin（θ-φ）+1}|}}{2}$，
由此当sin（θ-φ）=1时，d取得最大值，且最大值为$\frac{{\sqrt{10}}}{4}+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查参数方程与普通方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．