Question

【题目】观察以下5个等式： ﹣1=﹣1
﹣1+3=2
﹣1+3﹣5=﹣3
﹣1+3﹣5+7=4
﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5
…
照以上式子规律：
（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N*）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知中：

﹣1=﹣1

﹣1+3=2

﹣1+3﹣5=﹣3

﹣1+3﹣5+7=4

﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5

…

归纳可得：

第6个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6

第n个等式为﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn

（2）解：下面用数学归纳法给予证明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n （2n﹣1）=（﹣1）nn

①当n=1时，由已知得原式成立；

②假设当n=k时，原式成立，

即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k （2k﹣1）=（﹣1）kk

那么，当n=k+1时，

﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k （2k﹣1）+（﹣1）k+1 （2k+1）

=（﹣1）kk+（﹣1）k+1 （2k+1）

=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）

=（﹣1）k+1 （k+1）

故n=k+1时，原式也成立，

由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立

【解析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左边有n个连续奇数相加减，右边为n（n为偶数）或n的相反数（n为奇数），进而得到结论；（2）当n=1时，由已知得原式成立，假设当n=k时，原式成立，推理可得n=k+1时，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．
【考点精析】掌握归纳推理是解答本题的根本，需要知道根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理．