Question

设函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）见解析（2）>e22（3）a的取值范围是：2－ln4<a≤3－ln9,即2－2ln2<a≤3－2ln3

【解析】

试题分析：（1）确定函数定义域，求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；

（2）确定函数在上的单调性，从而可得函数的最大值，不等式，即可求得实数m的取值范围；

（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2．求导函数，确定函数在区间[0，2]上的单调性，为使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，从而可建立不等式，由此可求实数a的取值范围．

试题解析：依题意知，

又因为 1分

（1）令

或x>0，所以f(x)的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞） 3分

令

的单调减区间（1，0）和（∞，2） 5分

（2）令（舍） 6分

8分

因此可得：f(x)<恒成立时，>e22 9分

（3）原题可转化为方程=(1+x)－ln(1+x)2在区间[0，2]上恰好有两个相异实根 10分

11分

且2－ln4<3－ln9<1，∴的最大值是1，的最小值是2－ln4 13分

所以在区间[0，2]上原方程恰有两个相异的实根时,实数a的取值范围是：2－ln4<a≤3－ln9,即2－2ln2<a≤3－2ln3 14分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数与方程的综合运用；3.利用导数求闭区间上函数的最值．