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已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断曲线,定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]).其中,min{f(t)|t∈D}表示函数f(t)在D上的最小值,max{f(t)|x∈D}表示函数f(t)在D上的最大值.若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.
(1)已知函数f(x)=2sinx(0≤x≤
n
2
),试写出f1(x),f2(x)的表达式,并判断f(x)是否为[0,
n
2
]上的“k阶收缩函数”,如果是,请求对应的k的值;如果不是,请说明理由;
(2)已知b>0,函数g(x)=-x3+3x2是[0,b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围.
分析:(1)由题意可得,f1(x)=0,f2(x)=2sinx,x∈[0,
π
2
],于是f2(x)-f1(x)=2sinx.若f(x)是[0,
π
2
]上的“k阶收缩函数”,则2sinx≤kx在[0,
π
2
]上恒成立,且?x1∈[0,
π
2
]使得2sinx>(k-1)x成立,构造函数φ(x)=sinx-x,x∈[0,
π
2
],可得2sinx≤2x在[0,
π
2
]恒成立,由此可得结论;
(2)先对函数g(x)进行求导判断函数的单调性,进而写出g1(x)、g2(x)的解析式,分类讨论,利用g(x)=-x3+3x2是[0,b]上的2阶收缩函数,即可得到答案.
解答:解:(1)由题意可得,f1(x)=0,f2(x)=2sinx,x∈[0,
π
2
]
于是f2(x)-f1(x)=2sinx.
若f(x)是[0,
π
2
]上的“k阶收缩函数”,则2sinx≤kx在[0,
π
2
]上恒成立,且?x1∈[0,
π
2
]使得2sinx>(k-1)x
成立.
令φ(x)=sinx-x,x∈[0,
π
2
],则φ′(x)=cosx-1<0,所以φ(x)=sinx-x在[0,
π
2
]单调递减,
∴φ(x)≤φ(0),x∈[0,
π
2
],即sinx≤x,于是2sinx≤2x在[0,
π
2
]恒成立;
又?x1=
π
2
,2sinx>x成立.
故存在最小的正整数k=2,使f(x)为[0,
π
2
]上的“2阶收缩函数”. 
(2)g'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),令g'(x)=0得x=0或x=2.
令g(x)=0,解得x=0或3.
函数g(x),g′(x)的变化情况如下:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
g′(x) - 0 + 0 -
g(x) 0 4
(ⅰ)b≤2时,g(x)在[0,b]上单调递增,
因此,g2(x)=g(x)=-x3+3x2,g1(x)=g(0)=0.
因为g(x)=-x3+3x2是[0,b]上的2阶收缩函数,
所以,①g2(x)-g1(x)≤2(x-0)对x∈[0,b]恒成立;
②存在x∈[0,b],使得g2(x)-g1(x)>(x-0)成立.
①即:-x3+3x2≤2x对x∈[0,b]恒成立,由-x3+3x2≤2x,解得:0≤x≤1或x≥2,
要使-x3+3x2≤2x对x∈[0,b]恒成立,需且只需0<b≤1.
②即:存在x∈[0,b],使得x(x2-3x+1)<0成立.
由x(x2-3x+1)<0得:x<0或
3-
5
2
<x<
3+
5
2
,所以,需且只需b>
3-
5
2

综合①②可得:
3-
5
2
<b≤1
(ⅱ)当b>2时,显然有
3
2
∈[0,b],由于g(x)在[0,2]上单调递增,
根据定义可得:g2
3
2
)=
27
8
,g1
3
2
)=0,可得g2
3
2
)-g1
3
2
)=
27
8
>2×
3
2
=3,
此时,g2(x)-g1(x)≤2(x-0)不成立.
综合(ⅰ),(ⅱ)可得:
3-
5
2
<b≤1.
点评:本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力.要求学生要有很扎实的基本功才能作对这类问题.
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