Question

已知函数f（x）=x³-3x，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[-

3

，3]时，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，分析导函数在各区间上的符号，可得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由（I）中函数的单调性，分析当x∈[-

3

，3]时，函数的极值和区间端点对应的函数值，比照后可得：f（x）的最大值与最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）---------（2分）
∵当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；当-1＜x＜1时，f′（x）＜0---------（4分）
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），递减区间为（-1，1）---------（6分）
（Ⅱ） （ⅰ）由（1）可知x∈[-

3

，3]时，f（x）的极大值为f（-1）=2，f（x）的极小值为f（1）=-2---------（8分）
又f(-

3

)=0，f（3）=18，---------（10分）
∴f（x）的最大值为18，f（x）的最小值为-2---------（12分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上的最值，是导数的简单综合应用，难度中档．