Question

已知

a

=（2sin（x+

θ

2

），

3

），

b

=（cos（x+

θ

2

），2cos²（x+

θ

2

）），且0≤θ≤π，f（x）=

a

•

b

-

3

，且f（x）为偶函数．
（1）求θ；       
（2）求满足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用平面向量的数量积化简f（x），由f（x）是偶函数，且0≤θ≤π求出θ的值；
（2）由（1）得f（x）的解析式，f（x）=1时，求出x∈[-π，π]时，x的取值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

-

3

=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+

3

×2cos²（x+

θ

2

）-

3

=sin（2x+θ）+

3

（cos（2x+θ）+1）-

3

=2sin（2x+θ+

π

3

），
且f（x）为偶函数，0≤θ≤π；
∴θ+

π

3

=

π

2

，
解得θ=

π

6

；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

+

π

3

）=2cos2x，
当f（x）=1时，2cos2x=1，∴cos2x=

1

2

；
∴2x=±

π

3

+2kπ，k∈Z，
∴x=±

π

6

+kπ，k∈Z；
∴在x∈[-π，π]时，x的取值是-

5

6

π，-

π

6

，

π

6

，

5π

6

；
∴x∈{-

5π

6

，-

π

6

，

π

6

，

5π

6

}．

点评：本题考查了平面向量的数量积与三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题，是综合题．