Question

9．点E，F分别是正方形ABCD的边AB和CD上的点且AB=2AE，CD=4FD，点P为线段EF上的动点$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$表示出$\overrightarrow{AP}$，利用三点共线原理得出x，y的关系，使用基本不等式得出最小值．

解答 解：∵AB=2AE，CD=4FD，∴$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AF}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$=2x$\overrightarrow{AE}$+y（$\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}$）=（2x-$\frac{y}{2}$）$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$．
∵E，F，P三点共线，∴2x-$\frac{y}{2}$+y=1，即2x+$\frac{y}{2}$=1．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2x+\frac{y}{2}}{x}$+$\frac{2x+\frac{y}{2}}{y}$=$\frac{y}{2x}$+$\frac{2x}{y}$+$\frac{5}{2}$≥2+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$．
故答案为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，基本不等式的应用，属于中档题．