Question

17．已知函数$f（x）=|x|-\frac{2}{x-1}$．
（1）试讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（2）若当x∈（b，a）（b＞0）时，函数y=log_a（f（x））（a＞0且a≠1）的取值范围恰为（-∞，0），求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）方法1：利用对勾函数的单调性进行判断，
方法2：求函数的导数，利用导数研究函数的单调性．
（2）根据复合函数的单调性之间的关系进行判断求解即可．

解答 解：（1）方法一：因为x＜0，所以$f（x）=-x+\frac{2}{1-x}$-----------------------------------（1分）
令t=1-x＞1，则y=t+$\frac{2}{t}$-1在t∈（1，$\sqrt{2}$）上递减，在t∈（$\sqrt{2}$，+∞））上递增-------------（3分）
因为t=1-x为减函数--------------------------------------------------（4分）
所以函数y=f（x）在区间（1-$\sqrt{2}$，0）上单调递增，在区间（-∞，1-$\sqrt{2}$）上单调递减----（6分）
方法二：f′（x）=-1+$\frac{2}{（x-1）^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+2x+1}{（x-1）^{2}}$-----------------------------------------（2分）
由f′（x）＞0得1-$\sqrt{2}$＜x＜0，所以函数f（x）在区间（1-$\sqrt{2}$，0）上单调递增----------（4分）
同理函数f（x）在区间（-∞，1-$\sqrt{2}$）上单调递减---------------------------------------（6分）
（2）函数y=log_a（f（x））的定义域为{x|x＞2或x＜1}-----------------------------（8分）
（i）当（b，a）⊆（0，1）时，f（x）=x-$\frac{2}{x-1}$为单调递增函数，则f（x）≥2，
又0＜a＜1，∴y≤log_a2＜0
故，当（b，a）⊆（0，1）时，y=log_a（f（x））的取值范围恰为（-∞，0）不成立．------------（10分）
（ii）当（b，a）⊆（2，+∞）时，y=log_a（x-$\frac{2}{x-1}$），
此时f（x）=x-$\frac{2}{x-1}$单调递增，所以函数y=log_a（f（x））单调递增，
又f（2）=0，所以，必有b=2且f（a）=1，
得a²-2a-1=0解得a=1+$\sqrt{2}$或a=1-$\sqrt{2}$（舍）------------------------------------------（12分）
综上所述，a=1+$\sqrt{2}$，b=2---------------------------------------------------（14分）

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，考查学生的运算能力．