Question

8．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则|OA|²+|OB|²（O为坐标原点）的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 先讨论直线l的斜率不存在的情况，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1），与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系表示出x₁+x₂，x₁x₂，然后把|OA|²+|OB|²表示为关于k的函数，利用函数求最小值．

解答 解：当直线l的斜率不存在，即直线l垂直于x轴时，方程为：x=1，
则A（1，2），B（1，-2）．
|OA|²+|OB|²=5+5=10．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
|OA|²+|OB|²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=${{x}_{1}}^{2}+4{x}_{1}+{{x}_{2}}^{2}+4{x}_{2}$
${{（x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+4{（x}_{1}+{x}_{2}）$=$（\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}）^{2}-2+4（\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}）$
设${\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}=t}^{\;}$，则t＞2
|OA|²+|OB|²=t²+4t-2=（t+2）²-6 （t＞2）
所以|OA|²+|OB|²＞10．
综上可知：|OA|²+|OB|²的最小值为10．
故选：C．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．在解题过程中思维的严谨性，要考虑直线的斜率不存在的情况．