Question

18．已知虚数w满足：①w²=$\overline{w}$；②w的对应点在复平面的第二象限．
（1）求w；
（2）若复数z满足|z-2w|=1，求|z|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出复数w，利用复数相等的充要条件求解即可．
（2）利用复数的几何意义，转化求解即可．

解答 解：（1）设w=a+bi，由w²=$\overline{w}$；可得：a²-b²+2abi=a-bi，
即$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}-{b}^{2}=a\\ 2ab=-b\end{array}\right.$，解得：$a=-\frac{1}{2}，b=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$a=-\frac{1}{2}，b=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
w的对应点在复平面的第二象限．w=$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$．
（2）．复数z满足|z-2w|=1，
∴点z在复数平面内以$-1+\sqrt{3}i$的对应点为圆心，半径为1，的圆上．|z|表示原点到圆C上的点的距离，
易得|ZC|=|-1+$\sqrt{3}i$|=2．
∴|ZC|-r≤|z|≤|ZC|+r，即|z|的取值范围是[1，3]．

点评 本题考查复数的模的求法，复数的几何意义，考查计算能力转化思想的应用．