Question

8．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，求出切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求得导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间．

解答 解：函数f（x）=xlnx的导数f′（x）=1+lnx，
（1）当x=1时，f（1）=0，f′（1）=1+ln1=1
所以，切线过点（1，0），斜率为1，
故切线的方程为y=x-1；
（2）函数的定义域为（0，+∞），
令f′（x）＞0，即1+lnx＞0，解得x＞$\frac{1}{e}$．
所以，函数f（x）=xlnx的单调递增区间为（$\frac{1}{e}$，+∞）．
令f′（x）＜0，即1+lnx＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$．
所以，函数f（x）=xlnx的单调递减区间为（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，正确求导和运用对数函数的单调性是解题的关键．