Question

10．已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a₁+2²a₂+3²a₃+…+n²a_n，求a_n．

Answer 1

分析 由a_n+1=a₁+2²a₂+3²a₃+…+n²a_n得：当n≥2时，a_n=a₁+2²a₂+3²a₃+…+（n-1）²a_n-1，两个式子相减求出数列的递推公式，利用累积法求出a_n．

解答 解：由题意知，a_n+1=a₁+2²a₂+3²a₃+…+n²a_n，①
∴当n≥2时，a_n=a₁+2²a₂+3²a₃+…+（n-1）²a_n-1，②
①-②得，a_n+1-a_n=n²a_n，则a_n+1=（1+n²）a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+n²，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=1+{1}^{2}$，$\frac{{a}_{，3}}{{a}_{2}}=1+{2}^{2}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1+（n-1）²，
以上（n-1）个式子相乘得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=（1+1²）（1+2²）…[1+（n-1）²]，
∴a_n=3{（1+1²）（1+2²）…[1+（n-1）²]}，
则a_n=3$\sum _{i=2}^{n}$[1+（i-1）²]．

点评 本题考查了数列的递推公式的化简变形，以及累积法求数列的通项公式，属于中档题．