Question

5．若函数f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（a∈R），则下列结论正确的是（　　）

• A． ?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 21
• B． ?a∈R，f（x）是偶函数育
• C． ?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数
• D． ?a∈R，f（x）是奇函数

Answer 1

分析 考查函数f（x）的单调性，排除选项A、C；
a=0时，f（x）是偶函数，无论a取何值，f（x）都不是奇函数，由此得出正确选项．

解答 解：∵f（x）=x²+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=2x-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}-a}{{x}^{2}}$，
令2x³-a=0，解得x=$\root{3}{\frac{a}{2}}$，
∴当x＞$\root{3}{\frac{a}{2}}$时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
当x＜$\root{3}{\frac{a}{2}}$时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
∴选项A、C错误；
又a=0时，f（x）=x²是偶函数，∴B正确；
无论a取何值，f（x）都不是奇函数，∴D错误．
故选：B．

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性问题，是综合性题目．