Question

16．已知t∈C，且$\frac{t+3}{t-3}$为纯虚数．
（1）求t的对应点的轨迹；
（2）判断复数$\frac{4+|t|i}{3+|t|i}$在复平面上对应的点所在的象限．

Answer 1

分析 （1）设出复数t的代数形式，代入$\frac{t+3}{t-3}$，利用复数的除法运算整理，由实部等于0且不等于0可求t得轨迹方程，可得t的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去（-3，0），（3，0）两点；
（2）化简复数，即可得出结论．

解答 解：（1）设t=x+yi（x，y∈R），则$\frac{t+3}{t-3}$=$\frac{x+yi+3}{x+yi-3}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-9-6yi}{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，
∵$\frac{t+3}{t-3}$为纯虚数，
∴x²+y²=9（y≠0），
∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去（-3，0），（3，0）两点；
（2）复数$\frac{4+|t|i}{3+|t|i}$=$\frac{4+3i}{3+3i}$=$\frac{7}{6}$-$\frac{1}{6}$i，在复平面上对应的点所在的象限是第四象限．

点评 本题考查了复数的基本概念，考查了轨迹方程的求法，考查了圆的标准方程，解答的关键是对轨迹方程中不满足条件点的取舍，是中档题．