Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），M为椭圆上的一点，且满足∠F₁MF₂=$\frac{π}{3}$．
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）当椭圆的离心率e取得最小值时，点N$（0，3\sqrt{3}）$到椭圆上的点的最远距离为4$\sqrt{3}$，求此时椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，结合基本不等式，可得椭圆离心率的取值范围；
（2）设点N$（0，3\sqrt{3}）$到椭圆上的点的距离平方为u，则u=x²+（y-3$\sqrt{3}$）²=-$\frac{1}{3}$（y+9$\sqrt{3}$）²+4c²+108，利用点N$（0，3\sqrt{3}）$到椭圆上的点的最远距离为4$\sqrt{3}$，分类讨论，即可求此时椭圆C的方程．

解答 解：（1）在△MF₁F₂中，MF₁²+MF₂²-2MF₁•MF₂•cos∠F₁MF₂=4c²，
∴（MF₁+MF₂）²-3MF₁•MF₂=4c²，
∴4a²-3MF₁•MF₂=4c²，
∴3MF₁•MF₂=4a²-4c²，
∴4a²-4c²≤3a²，
∴a²≤4c²，
∴e²≥$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}≤e＜1$；
（2）e=$\frac{1}{2}$，a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$（y∈[-$\sqrt{3}$c，$\sqrt{3}$c]，
设点N$（0，3\sqrt{3}）$到椭圆上的点的距离平方为u，则
u=x²+（y-3$\sqrt{3}$）²=-$\frac{1}{3}$（y+9$\sqrt{3}$）²+4c²+108，
-$\sqrt{3}$c≤-9$\sqrt{3}$时，即c≥9时，u_max=u（-9$\sqrt{3}$）=4c²+108=48，则c无解；
-$\sqrt{3}$c＞-9$\sqrt{3}$时，即0＜c＜9时，u_max=u（$\sqrt{3}$c）=3c²+18c+27=48，则c=1或-7（舍去）
∴所求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查椭圆离心率的取值范围，考查椭圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．